روند فعلی در پیاده روی های تصادفی در شبکه های تصادفی

در یک مدل پیاده روی تصادفی کلاسیک ، یک واکر از طریق یک شبکه عدد صحیح D-dimental Deteger در یک مرحله در یک زمان حرکت می کند ، بدون اینکه در هر جهت حرکت کند. در یک محیط پیشرفته تر ، یک واکر به طور تصادفی از طریق یک شبکه به طور تصادفی پیکربندی شده (غیر معادل) حرکت می کند و با یک تعداد تصادفی از مراحل پرش می کند. در برخی از انواع دیگر ، حرکات دسترسی محدود واکر وجود دارد. یعنی حرکات واکر در زمان واقعی در دسترس نیست. در عوض ، مشاهدات محدود به برخی از دوره های تصادفی است که منجر به تأخیر اطلاعات در مورد موقعیت واقعی واکر ، زمان فرار آن و مکان خارج از زیر مجموعه محدود از فضای واقعی می شود. در این حالت ما زمان اول مجازی (یا فرار) را هدف قرار می دهیم. بنابراین ، بر خلاف مشکلات پیاده روی تصادفی استاندارد ، به جای عبور از مرز ، ما با مکان فرار واکر به طور خودسرانه از مرز فاصله داریم. در این مقاله ، ما پیشینه تاریخی کوتاهی در مورد پیاده روی تصادفی ارائه می دهیم ، در مورد جهت های مختلف در توسعه تئوری پیاده روی تصادفی بحث می کنیم ، و بیشتر نتایج ما را در 25-30 سال گذشته بررسی می کنیم ، از جمله موارد اخیر در تاریخ 2020-21. در میان برنامه های مختلف چنین پیاده روی های تصادفی ، ما در مورد بازارهای سهام ، شبکه های تصادفی ، بازی ها و صف بندی بحث می کنیم.

در یک مدل پیاده روی تصادفی کلاسیک ، یک ذره یا واکر از طریق یک شبکه عدد صحیح d-dimensional Deteger حرکت می کند. پیاده روی بدون حرکت در هر جهت تصادفی است. مراحل ذرات همچنین با واحدهای زمانی همراه است که در مورد آن منجر به حرکت براون می شود. مورد علاقه اولین زمان گذر است ، یعنی وقتی ذرات از یک مجموعه محدود فرار می کنند.

انواع زیادی از پیاده روی تصادفی در ادبیات وجود داشته است. موردی که ما معرفی می کنیم با یک واکر است که به طور تصادفی با یک پیکربندی واقعی با ارزش واقعی ، متقابلاً با یک شبکه در حال حرکت است و در مواقع تصادفی تشکیل می شود. اولین زمان گذر از چنین واکر و مکان پس از فرار آن ، تمرکز ماست.

در یک تزیین بیشتر، به ذره اجازه می‌دهیم که از طریق یک شبکه تصادفی نه یک قدم در یک زمان مانند تنظیمات کلی حرکت کند، بلکه به تعداد تصادفی از مراحل بپرد. در برخی از انواع دیگر، ما فقط دسترسی محدود به حرکات واکر را مجاز می‌کنیم. یعنی حرکات واکر در زمان واقعی در دسترس نیست. در عوض، مشاهدات به برخی از دوره‌های تصادفی، τ 1، τ 2، τ 3، ... محدود می‌شوند. در نتیجه، ما با اطلاعات تاخیری در موقعیت واقعی A t ذره و پس از فرار آن در τ ν (ν شاخص فرار است) - اولین زمان عبور مجازی و مکان فرار مجازی در A τ ν - که ممکن است به پایان برسد سر و کار داریم. به طور خودسرانه از مرز یک مجموعه زیرین فاصله دارد. بدیهی است که زمان گذر اول مجازی τ ν نسبت به زمان گذر اول واقعی تاخیر دارد.

از سوی دیگر، در بیشتر تنظیمات خود، ما حرکات واکر را فقط در جهت های مثبت محدود می کنیم. علاوه بر این، مجموعه ای که ذره باید از آن فرار کند، یک مستطیل d بعدی است تا یک منیفولد دلخواه.

ما توجه می کنیم که کار ما بر روی مدل های پیاده روی تصادفی به دو مشکل متمایز مربوط می شود. در مورد اول، ما روی توزیع مشترک اولین زمان عبور t ν و اولین مکان فرار A t ν کار می کنیم، جایی که t 1، t 2، ... دوره های بیدرنگ پرش های واکر هستند، بدون رابطه بین زمان. t ν و بازه زمانی قطعی 0، t، بنابراین به عنوان زمان حساس نامیده می شود. در مسئله دوم، اولین زمان عبور t ν (یا زمان عبور اول مجازی τ ν) را می توان در داخل 0، t یا خارج از بازه قرار داد و همراه با موقعیت زمان واقعی A t ذره در زمان t در نظر گرفت. مشکل دوم پیچیده تر است و به آن حساس به زمان می گویند.

ما یک پیشینه تاریخی کوتاه در مورد پیاده روی تصادفی ارائه می دهیم، جهت های مختلف در توسعه تئوری پیاده روی تصادفی را مورد بحث قرار می دهیم و بیشتر نتایج به دست آمده در 25 تا 30 سال گذشته را بررسی می کنیم، از جمله نتایج بسیار اخیر مربوط به 2020-21. در میان کاربردهای مختلف چنین پیاده روی تصادفی، ما در مورد بازارهای سهام، شبکه های تصادفی، بازی ها و صف بندی بحث می کنیم.

1. معرفی

اصطلاح "پیاده روی تصادفی" برای اولین بار در [1] توسط کارل پیرسون در سال 1905 معرفی شد. این به طور کلی به عنوان یک فرآیند مکرر s n = x 1 +… + x n ساخته شده از دنباله ای از iid z d-با ارزش R. V. در نظر گرفته می شود. x = در فرم ساده خود ، x i ∈ X و x به طور یکنواخت بر روی - 1 ، 1 d توزیع می شود ، به گونه ای که اگر s n = x ∈ Z d ، ذرات یا واکر از حالت x به حالت y در hypercube x hypercube x حرکت می کند+ - 1 ، 1 d به همان اندازه در هر جهت با احتمال 1 2 d. بنابراین در اینجا واکر به طور تصادفی در شبکه عدد صحیح d- بعدی حرکت می کند. یکی از اهداف اصلی یافتن توزیع احتمال از ν = inf n: s n ∈ A c و s ν است ، جایی که a زیر مجموعه محدود از z d است. یعنی موقعیت واکر هنگام فرار از مجموعه A.

اگر اجازه دهیم X با ارزش و خودسرانه با ورودی های X 1 توزیع شود ،… ، x D از x مستقل نیست همانطور که در بالا فرض شد ، پس چنین پیاده روی تصادفی تا حد زیادی تزئین شده است. در اینجا ما می توانیم به یک شبکه تولید شده به طور تصادفی جایگزین z d فکر کنیم ، به طوری که اگر s n = x ∈ R D ، واکر از حالت x به حالت y مطابق با افزایش تصادفی x n ∈ X حرکت می کند (کلاس هم ارزی همه R. V. A. S. برابر x) و معلوم می شود که شبکه ای که در آن حرکت ذرات به طور تصادفی تولید می شود هر بار که واکر در مقداری x قرار می گیرد. علاوه بر این ، ما این زمان را در نظر می گیریم که واکر در یک مرحله از x به y حرکت می کند و بدین ترتیب یک فرآیند نقطه t = t 1 ، t 2 ،… و فرآیند نقطه مشخص شده مرتبط s = ∑ n = 0 ∞ x n را در نظر می گیرد. ε t n (ε α اندازه گیری واحد در نقطه A است). پارامترهای فرار چنین پیاده روی تصادفی اکنون به مشخصات بیشتری نیاز دارند. اگر a زیر مجموعه محدود از r d باشد ، ν = inf n: s n ∈ A c (شاخص خروج) ، t ν اولین زمان گذر یا زمان فرار است ، و S ν موقعیت واکر در فرار خود است (موقعیت فرار).

یافتن توزیع (مفصل یا حاشیه ای) از نهادهای تصادفی فوق به صورت بسته ، یک چالش است. فرض در مورد X برای ارزیابی R + D مفید است و هنوز هم به اندازه کافی عملی است. اصطلاحات پیاده روی تصادفی برای توصیف حرکت فیزیکی یک واکر صرف نظر از محل حرکت واکر مناسب است ، اگرچه سایر اصطلاحات توصیفی مانند یک فرآیند نقطه مشخص یا اندازه گیری تصادفی مشخص یا روند مکرر یا تجدید نیز در ادبیات رایج است. علاوه بر این ، اجزای افزودنی یا پرش X I از S از S استفاده نمی کنند و می توانند فرآیندهای مارکوف یا نیمه مارکف را تشکیل دهند ، اگرچه این کلاس های S از دامنه و علاقه این مقاله خارج هستند که فقط مواردی را که منجر به بسته شدن تحلیلی می شوند هدف قرار می دهد. تشکیل می دهد.

علاوه بر اصطلاحات واکر یا ذره ای که برای یک شیء در حال حرکت اعمال می شود ، برخی از نویسندگان نیز از اصطلاحاتی مانند یک پیاده روی تصادفی استفاده می کنند که قدم می زند. ما توجه می کنیم که X همچنین می تواند با ارزش صحیح باشد ، در حالی که ما تمام فرضیات دیگر را در S حفظ می کنیم. سپس اگر واکر در مرحله n در زمان t n در برخی از s n = x 0 +… + x n قرار می گیرد ، سپس در زمان t n + 1 ، واکر به حالت s n + 1 = s n + x n + 1 حرکت می کند ، کجاx n + 1 z + d-با ارزش R. V. این مسیری را در Z + D ایجاد می کند که در تمام جهات غیر منفی از S n اجرا می شود.

راهی وجود دارد که حداقل تا حدی مانع از پرش های مختلط (یا افزایش) را دور بزند ، نه فقط غیر منفی که قصد داریم بعداً در این مقاله درباره Alittle بحث کنیم ، اما در حال حاضر ما با فرضیات فوق می مانیم. با غیر منفیافزایش ، نمایندگی s = ∑ n = 0 ∞ x n ε t n از یک پیاده روی تصادفی اساسی یک اقدام تصادفی اتمی است که اغلب یک تفسیر جایگزین مناسب است.

ادبیات مرتبط

تعداد بیشماری از مقالات در مورد پیاده روی تصادفی و برنامه های کاربردی وجود دارد که می تواند لیست بسیار طولانی را ایجاد کند. در نتیجه چنین ثروت و تلاش بسیاری از شاخه های مختلف ریاضیات و سایر رشته ها ، هیچ وحدت در مورد مفاهیم و نمادهای مشابه وجود ندارد. اول از همه ، ابهام در مورد اینکه یک پیاده روی تصادفی با آنچه نیست مخالف است. این به دلیل تزئینات مختلف به مفهوم اصلی یک پیاده روی تصادفی به عنوان یک فرآیند مکرر است ، یعنی دنباله ای از مبالغ جزئی از یک دنباله x 0 ، x 1 ،… از IID R. V.. توجه داشته باشید که اگر X I غیر منفی باشد ، از S N به عنوان یک فرآیند تجدید نامیده می شود. اگر X I با ارزش واقعی باشد ، S n مکرر است (ر. ک. tak a ´ cs [2]).

اکنون و پس از آن در مورد سازه هایی مانند Warlks تصادفی نیمه مارکوف می خوانیم ، یعنی S N یک فرایند نیمه مارکف است (ر. ک. Unver و همکاران [3]). یکی دیگر از زیبایی های که ما معتقدیم کاملاً مشروع است ، زمانی است که پرش واکر بر روی نقاط تصادفی اتفاق می افتد که تجزیه و تحلیل پارامترهای فرار را چالش برانگیزتر می کند. علاوه بر این ، طول پرش x n می تواند وابسته به موقعیت باشد ، یعنی زمانی که x n به t n - t n - 1 فقط ، n = 1 ، 2 ،… ، یعنی زمان از زمان پرش قبلی بستگی دارد. اکنون از آنجا که خیلی اوقات ، نگران فرار از یک پیاده روی تصادفی از یک مجموعه محدود است ، تجزیه و تحلیل اساسی فرار به نوسانات مبالغ متغیرهای تصادفی گفته می شود. با این حال ، "مبالغ" همیشه یک پیاده روی تصادفی سنتی با پرش های مستقل نیست (رجوع کنید به اندرسن [4،5]). علاوه بر این ، نوسانات نیز با اشاره به فرآیندهای دارای مسیرهای مداوم مانند حرکت براون و در اینجا فرار از یک مجموعه به وسیله ای که از مرز خود با مکانی در کنار یک عبور می کند ، ذکر شده است. دومی با ترک A و فرود در نقطه ای دور از A متفاوت است زیرا در زیر پیاده روی تصادفی غیر ساده اتفاق می افتد. از این رو ، برای درج کارهای خاص در ادبیات ، از محدودیت های مشترک و محدودیت های فضا استفاده خواهیم کرد.

اولین ذکر پیاده روی تصادفی توسط پیرسون [1] در سال 1905 با توصیف توزیع مسافت طی شده در یک پیاده روی تصادفی N-Step در هواپیما انجام شد. پیاده روی از 0 ، 0 شروع می شود و شامل N مرحله از طول واحد است که هر یک در یک جهت تصادفی به همان اندازه محتمل گرفته شده است. با اشاره به پیرسون ، این مشکل توسط ریلی [6] نیز در سال 1905 ارسال شد که ادعا کرد مشکل پیاده روی تصادفی که توسط پیرسون پیشنهاد شده است همانند ترکیب ارتعاشات ایزو-دوره ای از دامنه واحد و مراحل توزیع شده به طور تصادفی استو در مقالات قبلی خود تحصیل کرد.

There are two seminal articles by Andersen [4,5] that belong to the literature on fluctuations, but they deal with sums of not independent r.v.’s. Yet it is worth including them in the reference list. Takćs [2,7,8] had been a key prolific contributor to the fluctuations of sums of random variables, some of which are traditional random walks and some are embellished variants, cf. Dshalalow and Syski [9] about Takács’ work. Some random walk problems pertain to exit and retu to a fixed set. Van den Berg [10], obtained estimates for the “average probability” that a simple random walk in Z d starting at a point x ∈ V exits V and then retus to x . The average is taken over all points x ∈ V . Paper [11] studied the asymptotic behavior of the probability P ν = n , as n → ∞ , where ν = inf k >0: S k ≥ y برای برخی از y ≥ 0 و s k = ∑ j = 1 k x j یک فرآیند مکرر است.

Becker and König [12] یک پیاده روی تصادفی را در Z D هدف قرار داد که زمان محلی را با عنوان L (n ، x) = ∑ k = 0 n 1 s k = x ، n ∈ N انجام داد ، و تعداد بازدیدهای x ∈ Z D را ارائه داددر مرحله N و بدون علامت های بزرگ عملکردی

Csáki ، földes ، and Révész [13] حداکثر زمان محلی l n = max l n ، x: x ∈ z d را در یک پیاده روی متقارن ساده در Z d ، یعنی با p x 1 = e i = p x 1 = - e i = 2 d مطالعه کردند.- 1. گلوک [14] یک پیاده روی تصادفی را بر روی یک گروه محدود G بر اساس یک مجموعه تولیدی که اتحادیه کلاسهای مزدوج است ، مطالعه کرد. بگذارید یک عدد صحیح غیر منفی متغیر تصادفی T را نشان دهد اولین بار است که پیاده روی به عنصر هویت 1 G می رسد ، اگر نقطه شروع پیاده روی به طور یکنواخت بر روی g توزیع شود. تحت فرضیه های مناسب ، نویسنده نشان می دهد که عملکرد توزیع F از T تقریباً نمایی است. کار دیگر در مورد پیاده روی های تصادفی در گروه ها توسط Fayolle ، Iasnogorodski و Malyshev [15] ، Gluck [14] ، Hildebrand [16] و Tak a ´ CS [7] است.

یک فرآیند CTRW پیاده روی تصادفی زمان مداوم در مقاله سال 1965 توسط فیزیکدانان مونترول و ویس معرفی شد [17]. CTRW را می توان به شرح زیر تعریف کرد. بگذارید s = ∑ n = 0 ∞ x n ε t n (ε α اندازه گیری واحد در نقطه A) یک اندازه گیری تصادفی امضا شده مشخص شده باشد. فرض کنید x 0 ، x 1 ، x 2 ،… مستقل و برای n = 1 ، 2 ،… ، به طور یکسان توزیع شده R. V در R D ارزش دارد در حالی که t = ∑ n = 0 ∞ ε t n اندازه گیری پشتیبانی پشتیبانی است. بنابراین ، n t = t 0 ، t فرایند شمارش مرتبط است. سپس ، ctrw s t = s 0 ، t است. بارهای بین تجدید نظر t 1-t 0 ، t 2-t 1 ،… به عنوان زمان انتظار گفته می شود. اگر S با علامت گذاری مستقل موقعیتی داشته باشد ، پس از آن S T جداشده نامیده می شود. CTRW همراه به گونه ای است که S با علامت گذاری وابسته به موقعیت است ، یعنی x n به t n - t n - 1 بستگی دارد. Marks X N نامیده می شود و در فیزیک ، آنها پرش های فوری از یک واکر پراکنده را نشان می دهند.(یک عملکرد به اصطلاح CTRW مربوط به معادلات انتشار کسری است.) CTRW برنامه های کاربردی در فیزیک ، بیمه و امور مالی را پیدا می کند. ادبیات مربوط به CTRW در اصطلاحات خاص خود متمایز از آن در پیاده روی های تصادفی است. برای دیدن یک و همان مفاهیم به بررسی بیشتری نیاز دارد. نظرسنجی های جالب را در Kutner و Masoliver [18] و Scalas [19] مشاهده کنید. مقاله Balakrishnan و Khantha را در مورد اولین زمان گذرگاه در CTRW ببینید [20].

ما فقط به طور خلاصه پیاده روی های تصادفی روی نمودارها را ذکر می کنیم. در شکل اصلی خود ، زنجیرهای محدود مارکوف پیاده روی تصادفی در نمودارهای با وزن وزنی با حلقه های احتمالی هستند. یک شبکه الکتریکی یک MultiGraph G = V ، E و با عملکرد وزن R: E → R + است که نشان دهنده مقاومت لبه ها است. سایر برنامه های قابل توجه در پیاده روی های تصادفی در نمودارها ، پیاده روی های تصادفی در نمودارهای اجتماعی است. به کارهای مرتبط در بلانچارد و ولچنکوف [21] ، براماود [22] ، فوجی و ژانگ [23] ، ساکار و مور [24] ، شی [25] ، Tak a ´ cs [8] و telcs مراجعه کنید [26].< Span> ما فقط به طور خلاصه پیاده روی های تصادفی را در نمودارها ذکر می کنیم. در شکل اصلی خود ، زنجیرهای محدود مارکوف پیاده روی تصادفی در نمودارهای با وزن وزنی با حلقه های احتمالی هستند. یک شبکه الکتریکی یک MultiGraph G = V ، E و با عملکرد وزن R: E → R + است که نشان دهنده مقاومت لبه ها است. سایر برنامه های قابل توجه در پیاده روی های تصادفی در نمودارها ، پیاده روی های تصادفی در نمودارهای اجتماعی است. کارهای مرتبط را در بلانچارد و ولچنکوف [21] ، براماود [22] ، فوجی و ژانگ [23] ، سارکار و مور [24] ، شی [25] ، تهیه یک ´ cs [8] و telcs مشاهده کنید [26]. فقط به طور خلاصه از پیاده روی های تصادفی در نمودارها یاد کنید. در شکل اصلی خود ، زنجیرهای محدود مارکوف پیاده روی تصادفی در نمودارهای با وزن وزنی با حلقه های احتمالی هستند. یک شبکه الکتریکی یک MultiGraph G = V ، E و با عملکرد وزن R: E → R + است که نشان دهنده مقاومت لبه ها است. سایر برنامه های قابل توجه در پیاده روی های تصادفی در نمودارها ، پیاده روی های تصادفی در نمودارهای اجتماعی است. به کارهای مرتبط در بلانچارد و ولچنکوف [21] ، براماود [22] ، فوجی و ژانگ [23] ، ساکار و مور [24] ، شی [25] ، Tak a ´ cs [8] و telcs مراجعه کنید [26].

پیاده روی های تصادفی در صف ، زیر مجموعه بسیار قابل توجهی از کل ادبیات در پیاده روی های تصادفی است. آنها خیلی زود مفاهیم خود را برداشتند و ارتباطات بسیار نزدیکی با فرآیندهای مختلف در سیستم های صف بندی از جمله صف ، زمان انتظار ، عزیمت و سایر فرآیندهای پیدا کردند. علاقه به پیاده روی های تصادفی در صف بندی در دهه 80 و 90 افزایش یافت و از آن زمان به پیشرفت های مستقل منجر شد. در آن زمان ، صف های بسیار محبوب آنهایی بودند که دارای N- ، D- و T-Policies بودند که پیاده روی تصادفی را انجام می دادند ، بعداً به رشته های نگهداری و تعطیلات پیوستند. بیشتر آنها به عبارات فرم بسته نیاز داشتند که منجر به تجزیه و تحلیل جدید پیاده روی های تصادفی شد. به عنوان مثال ، در صف های زیر N-Policy ، هنگامی که صف خسته می شود ، سرور استراحت می کند تا مشتریان جدید که به اتاق انتظار می پیوندند از شماره مثبت N عبور کنند. اگر فله جریان ورودی (یعنی وقتی یک فرآیند نقطه مشخص است) مشکل کمتری پیدا می کند. اگر سرور به تعمیر و نگهداری ادامه یابد (به آن تعطیلات نیز گفته می شود) ، او از سیستم غایب است و نمی تواند بلافاصله خدمات خود را از سر بگیرد ، پس از عبور از صف ، زیرا او نمی تواند هیچ بخش تعطیلات را قطع کند. بنابراین او این کار را در اولین زمان مناسب انجام می دهد. مشکل پیدا کردن اولین زمان گذرگاه (در این حالت زمانی است که سرور خدمات خود را از سر می گیرد) و سطح صف جمع شده توسط آن زمان به هدف بسیاری از کار ، از جمله Abolnikov و Dshalalow [27،28،29،30] ، Abolnikov تبدیل شد.، Dshalalow ، and Agarwal [31] ، Abolnikov ، Dshalalow ، and Dukhovny [32،33،34] ، Dshalalow [35،36،37،38،39،40] ، Dshalalow و Motir [41] ، Dshalalow and Russell [42 [42] ، و Dshalalow و Yellen [43]. اکنون با D-Policy ، سرور خدمات خود را از سر می گیرد ، هنگامی که کل سرویس مورد نیاز برای پردازش مقدار خاصی از مشاغل از یک d واقعی مثبت است. به Agarwal و Dshalalow مراجعه کنید [44]. در تمام این مقالات ، عملکردهای صریح مشترک زمان گذر اول و موقعیت صف در گذرگاه به دست آمد. نتایج ذکر شده در اشکال بسته از طریق معرفی و اجرای به اصطلاح D-operator (بخش 2 را ببینید) ، که به طور خاص برای مقابله با پارامترهای فرار پیاده روی های تصادفی طراحی شده است ، امکان پذیر است.

تزیین بیشتر صف های نامگذاری شده در بالا ، آنهایی است که کنترل هیسترتیک دارند. این در شرایطی است که سرور خدمات خود را در مورد تکمیل خدمات به حالت تعلیق در می آورد ، هنگامی که سطح صف پایین تر از برخی R پایین می آید و هنگامی که صف به N یا بیشتر مشتری می رود ، سرویس خود را از سر می گیرد. در اینجا r ≤ n. در حین عدم تحرک اولیه ، سرور ممکن است استراحت کند یا به تعطیلات چندگانه برود ، یا اگر صف در بازگشت به N نرسیده باشد ، یک تعطیلات واحد را با استراحت دنبال کنید. یک فرم بسته برای توزیع مشترک زمان گذرگاه اول و سطح صف در گذرگاه ما در Abolnikov ، Dshalalow و Treerattrakoon [45] ، Dshalalow [46] ، Dshalalow و Dikong [47،48] ، Dshalalow ، Kimalow ، Kimalow ، Kimalow.، و Tadj [49] در انواع مختلف سیاست کنترل هیسترتیک. در بعضی موارد ، خدمات دسته ای (گروهی) صورت گرفت که به پیچیدگی موجود مشکلات اساسی پیاده روی تصادفی اضافه شد.

Bacot و Dshalalow [50] در سال 2001 یک تزیین بیشتر پیاده روی های کنترل هیسترتیک را با استفاده از یک سرویس به اصطلاح دروازه در نظر گرفت. این یک صف سرویس بخش بزرگ با ورودی با سیاست تعطیلات متعدد و کنترل هیسترتیک بود. هنگامی که این سرویس از دو مرحله تشکیل شده است ، سرویس دروازه در مورد این خط مشی اعمال می شود. سرور در مرحله اول دسته ای از مشتریان را می گیرد و اگر همه مشتریان در دسترس به دسته ای که از اندازه کمتری نسبت به ظرفیت سرور برخوردار است ، پیوستند ، پس مشتریان تازه وارد می توانند به دسته اول (نه بیش از ظرفیت سرور) ، بلکه در طولمرحله دوم ، چنین گزینه ای حتی اگر ظرفیت سرور پر نشده باشد ، دیگر مورد تقدیر قرار نمی گیرد. تمام مشکلات پیاده روی تصادفی مرتبط با توزیع مشترک کلیه پارامترهای مهم فرار در زمینه فرآیند صف به دست آمد. در این مشکل خاص ، نویسندگان نتایج به دست آمده در تعطیلات و مرحله اول را زنجیر کردند.

ابزار و تطبیق پذیری D-operator ما را قادر می سازد تا کلاسهای مشکلات پیاده روی تصادفی را که می تواند در بازی های تصادفی ، شبکه های تصادفی ، صف و اقتصاد شناسایی شود ، بزرگ کنیم. در صف بندی ، ما از نسخه های چند بعدی D-operator استفاده می کنیم تا صف ها را با ایستگاه های صف موازی یا امکانات سرویس دهی تجزیه و تحلیل کنیم که در آن یک سرور می تواند کار همزمان و در عین حال ناهمزمان را بر روی بیش از یک کار همزمان انجام دهد ، همانطور که در هر مطالعات در Abolnikov ،Dshalalow ، و Agarwal [31] ، Dshalalow and Merie [51] ، و Dshalalow ، Merie و White [52].

ابزار بیشتر D-operator در پیاده روی تصادفی در خاصیت زنجیره ای آن بین حالت های مختلف که ممکن است شامل تعطیلات چند مرحله ای باشد ، به دنبال آن استراحت ، و چندین مرحله خدماتی مانند Abolnikov ، Dshalalow و Treerattrakoon [45] ، Dshalalow [46] ، یافت می شود. Dshalalow ، Kim ، and Tadj [49] ، Dshalalow and Merie [51] در زمینه صف بندی و Dshalalow و Huang [53،54،55] ، در زمینه بازی های تصادفی.

پیاده روی های چند بعدی Lévy با اجزای رقیب برای مدل سازی بازی های چند بازیکن تحت اقدام خصمانه مشاهده شد. بازی وقتی به پایان رسید که یکی از بازیکنان ویران شود ، یعنی وقتی یک یا چند مؤلفه رقیب از آستانه های مربوطه خود عبور می کنند. در اینجا دوباره شاهد فرار پیاده روی از یک مجموعه هستیم. این مدل قطعاً یک بازی تصادفی به معنای سنتی نیست ، اما اهداف یک تنظیم مربوط به بازی را ارائه می دهد و به همین ترتیب برای مدل های جنگ ، مسابقات اقتصادی و تجارت و سهام سهام و سهام ، بسیار خوب عمل می کند تا چند مورد را نامگذاری کند. Dshalalow [56،57] ، Dshalalow and Liew [58،59،60] برنامه های نوسانات پیاده روی تصادفی برای تأمین مالی را مورد مطالعه قرار داد ، در حالی که Dshalalow و Huang [53،54،55] ، Dshalalow و Iwezulu [61] ، Dshalalow و Ke [62 [62، 63] ، و Dshalalow و Treerattrakoon [64] به طور انحصاری بازی های متضاد و در حالت دوم را مطالعه کردند که سه بازیکن دو نفر از آنها می توانند در برابر بازیکن سوم تیم شوند. Dshalalow و White [65،66] در برنامه های پیاده روی تصادفی به شبکه های تصادفی متمرکز شده اند. علاوه بر این ، Dshalalow و Iwezulu [61] برنامه های کاربردی برای تحقیقات سرطان را در نظر گرفتند.

بیشتر کارهایی که در بالا ذکر شد در مورد پیاده روی های تصادفی در R + d است. بنابراین ، پیاده روی های تصادفی که از همه جهات حرکت می کنند از نظر تحلیلی چالش برانگیزتر هستند و متأسفانه آنها به اشکال نزدیک برای عملکردهای اصلی خود پایان نمی دهند. راهی برای دور زدن این مانع با معرفی به اصطلاح اجزای فعال کمکی وجود داشته است. به عنوان مثال ، اگر مؤلفه های زیرزمینی پیاده روی در حال افزایش نباشند بلکه نوسان می کنند ، سناریوی فرار واقعی بدون هزینه تحلیلی دشوار است ، اما ضمیمه اجزای فعال کمکی می تواند مخمصه را کاهش دهد زیرا آنها می توانند در صورت افزایش مؤلفه های غیر مونوتون ، به جهت اشاره کنند.، شیرجه ، سنبله ، همه یک بار یا چند بار (به بخش 4 مراجعه کنید). به گفته رفتار ابزارهای مالی ، مفهوم سنتی فرار اصلاح شده است ، اما هنوز هم اطلاعاتی صریح در مورد ما به ما می دهد. گزینه های مختلفی وجود دارد که می تواند آینده یک سبد سهام را پیش بینی کند اگر صحبت از استراتژی های گزینه های معاملاتی برای خرید قراردادهای اساسی طولانی یا کوتاه باشد.(به بحث در بخش 4 و در Dshalalow و Liew [59] مراجعه کنید.) یک نمونه ساده از یک بازی متضاد در امور مالی در مورد بهترین زمان برای استفاده از گزینه سهام در سهام درست قبل از فروپاشی و قبل از بلوغ آن ، هر یک از آنها تعیین شده است. اول می آید.

توجه داشته باشید که از آنجا که فرار از پیاده روی های تصادفی ابزارهای پیش بینی کننده ای را برای نتایج بازی هایی مانند مواردی که در امور مالی اتفاق می افتد ، ارائه می دهد ، این به دلایلی است که اطلاعاتی را که منجر به خراب شدن می شود ، اصلاح کند. یکی از این تلاشها در Dshalalow و KE [62،63] با معرفی یک زیر مجموعه کوچکتر A ′ ′ A انجام شد که یک پیاده روی از قبل از فرار از A فرار می کند که باید یک لایه اضافی از امنیت به ما بدهد. راه دیگر برای اصلاح اطلاعات ، امکان دسترسی به پیاده روی زیربنایی در هر دوره از زمان است و از این طریق باعث می شود زمان آن وابسته باشد. تاکنون منظور ما فقط پیاده روی هایی بود که پارامترهای فرار به هیچ زمان قطعی مربوط نمی شد. چنین پالایشگاه به ما امکان می دهد تا اولین زمان گذرگاه و موقعیت واکر را در تیم فرار خود با نسخه پارامتر زمان مداوم S (t) پیاده روی داشته باشیم و سعی کنیم هنوز هم اصطلاحات تحلیلی را به دست آوریم. ما چنین تجزیه و تحلیل حساس به زمان رویکرد را می نامیم. در Dshalalow [37] معرفی شد و در [67] بیشتر تصفیه شد و سپس در یک سری مقاله انتخاب شد. ما فقط برخی از موارد را ذکر می کنیم: Agarwal ، Dshalalow ، and O'Regan [68] ، Al-Matar و Dshalalow [69] ، Dshalalow [70،71] ، Dshalalow و Bacot [72] ، Dshalalow and Nandyose [73،74] ، Dshalalalowow، Nandyose ، و White [75] ، Dshalalow و White [76]. به بحث های بیشتر در بخش 5 و بخش 6 مراجعه کنید.

از جمله سایر برنامه های پیاده روی تصادفی ، Antal و Redner [77] خواص زمان عبور اول یک پیاده روی تصادفی زمان گسسته را مورد مطالعه قرار دادند که در آن طول هر مرحله به طور یکنواخت در بازه توزیع می شود - a ، a. واکر در ابتدا از نقطه دلخواه X ∈ 0 ، 1 با جذب نقاط انتهایی شروع می شود. این ایده از مشکل تشخیص توالی DNA توسط یک پروتئین متحرک ناشی می شود.

هیوز ، در کتاب خود [78] ، در مورد تغییرات مختلف پیاده روی های تصادفی ، مانند پیاده روی های تصادفی بر روی شبکه های مثلثی و بر روی فراکتال ها و همچنین "پیاده روی های خودکشی" که در آن واکر بیش از یک بار از همان نقطه بازدید نمی کند ، بحث می کند. در میان کاربردهای مختلف ، پیاده روی های خودکشی می توانند پلیمرهای زنجیره ای طولانی را در محلول های رقیق مدل کنند.

ما همچنین می خواهیم به برنامه های پیاده روی و نوسانات تصادفی در فیزیک در ردر [79] ، امور مالی در کیپریانو و پیستوریوس [80] ، موزی ، دلور و باکری [81] و Scalas [19] ، نجوم در اوچایکین و گوساروروف اشاره کنیم.[82] ، ژو ، سان ، و ژو [83] ، زیست شناسی و پزشکی در اوداگاکی و کاسویا [84] ، شبکه های برقی در Telcs [26] ، شبکه های اجتماعی در سارکار و مور [24] ، ارتباطات بی سیم در جباری ، ژو ،و هیلیر [85] ، و صف در اسموسن [86] ، بایر و باکسما [87] ، بلد و نیلسن [87] ، کوهن [88] ، گانون ، پچرسکی ، سوهوف و یامبارتسف [89] ، گیله و ون لیوواردن [[90] ، Janssen و Van Leeuwaarden [91] ، Lemoine [92] ، Stadje [93] ، tak a ´ cs [2] و Zorine [94] منتشر شده توسط نویسندگان دیگر.

علاوه بر این ، انواع مختلفی از کتاب ها و مقالات نظرسنجی در مورد پیاده روی های تصادفی یا مستقیماً مربوط به پیاده روی های تصادفی توسط بینگام [95،96] ، Bladt و Nielsen [97] ، Blanchard and Volchenkov [21] ، Brémaud [22] ، Fayolle ، وجود دارد. Iasnogorodski ، و Malyshev [15] ، Foss ، Korshunov و Zachary [98] ، Fujie and Zhang [23] ، Gut [99] ، Hildebrand [16] ، Iksanov [100] ، Lawler [101] ، Redner [79] ،شی [25] ، اسلید [102] ، Tak a ´ cs [2] ، telcs [103] و Wijesundera ، Halgamuge و Nanayakkara [104].

2. حساب عملیاتی پیاده روی های تصادفی یک بعدی

تمام فرآیندها در فضای احتمال ω ، F ، ص تعریف شده اند. کار ما در پیاده روی تصادفی با پرش های عدد صحیح غیر منفی به دهه 1990 باز می گردد [35،37،38،39،40،105] درباره S = ∑ n = 0 ∞ x n ε t n با علامت گذاری وابسته به موقعیت ، یعنی زمانی که x n بستگی دارددر t n - t n - 1 ، اما در مورد هیچ مؤلفه دیگری از اندازه گیری پشتیبانی t = ∑ n = 0 ∞ ε t n نیست. به طور خاص ، دنباله x 0 ، t 0 ، x 1 ، t 1 ،… یک روند تمدید تأخیر است.

علاوه بر این فرض می کنیم که S یک فرآیند Lévy است که به ویژه در برابر خوشه بندی T N ضمانت می کند. با a = [0 ، m) ، با فرض m ∈ N ، ما به زمان و موقعیت S پس از فرار آن از a علاقه مند هستیم. بنابراین ما داریم: ν = inf m: s m = x 0 +… + x m ∈ A c ، به عنوان شاخص خروج یا فرار ، t ν - زمان خروج یا زمان عبور اول ، موقعیت واکر درt ν (یا مقدار اضافی M).

برای ξ ، u ، v ∈ B ¯ 0 ، 1 ، re ϑ ≥ 0 ، re θ ≥ 0 ، جایی که b ¯ 0 ، 1 توپ واحد جمع و جور در C است). این از توزیع مشترک ν ، s ν ، t ν ، و دو مقدار مفید قبل از اججای مفید دیگر s ν-1 و t ν-1 (زمان قبل از اظهارات) است که نشان دهنده موقعیت و زمانی است که واکر آخرین بار در مجموعه A دیده می شودقبل از فرار. توجه داشته باشید که از آنجا که پرش x n در n ارزش دارد ، واکر در زمان t ν در S ν قرار دارد که می تواند به طور خودسرانه به دور از زمان فرار خود قرار گیرد.

برای x ∈ B ¯ (0 ، 1) و re y ≥ 0. در اینجا φ یک تابع ، تحلیلی در صفر در متغیر اول است. فرض کنید که مشترک تبدیل می شود

φ ν = d x m - 1 γ 0 (v ، θ) - γ 0 (x v ، θ) + ξ γ 0 (x u v ، ϑ + θ) 1 - ξ ξ γ (x u v ، ϑ + θ) γ (v ، θ) - γ (x v ، θ

برای p = 0 ، 1 ،… ، با توجه به اینکه ν = ν (m - 1). بنابراین ، اگر D P را به φ ν (P) اعمال کنیم ، می توانیم با استفاده از عملگر معکوس D M - 1 تا D P φ ν (P) φ ν (M - 1) = φ ν را احیا کنیم.

D P (1< ν ( p ) = j >) (x) = (1 - x) ∑ p = 0 ∞ x p 1< A j − 1 ≤ p >1 < A j >p >= (1 - x) ∑ p = a j - 1 a j - 1 x p = (1 - x) ∑ p ≥ a j - 1 x p - ∑ p ≥ a j x p.

φ ν (p) = e ξ ν (p) u a ν (p) - 1 v a ν (p) e - ϑ ϑ τ ν (p) - 1 - θ θ τ ν (p) = ∑ j = 0 ∞ eξ j u a j - 1 v a j e - ϑ τ j - 1 - θ τ j 1< ν ( p ) = j >

φ * (x) = d p (φ ν (p)) (x) = ∑ j = 0 ∞ e ξ j u a j - 1 v a j e - ϑ ϑ τ j - 1 - θ τ j d p (1< ν ( p ) = j >) (x) = ∑ j = 0 ∞ ξ j e (x u v) a j - 1 e - (ϑ + θ) τ j - 1 e v x j (1 - x x j) e - θ Δ j

برای j = 0 ، 1 ، ⋯ گرفتن τ - 1 = a - 1 = 0 ، ما E 0 = 1 و F 0 = γ 0 (V ، θ) داریم - γ 0 (x v ، θ).

می توان نشان داد که ∥ γ (x u v ، ϑ + θ ∥< 1 , if x < 1 due to the above assumption (proven below in part ( iv ), which will warrant the convergence of the geometric series

(IV) با x u v = z ، اکنون نشان می دهیم که برای γ (z ، θ) = e z x 1 e - δ 1 θ ، ∥ γ (z ، θ) ∥< 1 if ∥ z ∥ < 1 . We have

e z x 1 e - δ 1 θ = ∑ k = 0 ∞ z k ∫ t = 0 ∞ e - t θ p x 1 ⊗ δ 1 (k ، d t) ≤ ∥ e z x 1 e - δ 1 θ θ ≤ ∑ k k= 0 ∞ ∥ z ∥ k ∫ t = 0 ∞ ∥ e - t θ θ p x 1 ⊗ δ 1 (k ، d t) = ∑ k = 0 ∞ ∥ z ∥ k ∫ t = 0 ∞ e - t re (θ)p x 1 ⊗ δ 1 (k ، d t) = ∫ t = 0 ∞ e - t re (θ) p x 1 ⊗ δ 1 (0 ، d t) + ∑ k = 1 ∞ ∥ z ∥ k ∫ t = 0 ∞ e-t re (θ) p x 1 ⊗ δ 1 (k ، d t)< a + e − Re ( θ ) b + ∥ z ∥ c + ∥ z ∥ e − Re ( θ ) d

a: = ∫ t = 0 1 p x 1 ⊗ δ 1 (0 ، d t) b: = ∫ t = 1 ∞ p x 1 ⊗ δ 1 (0 ، d t) c: = ∑ k ≥ 1 ∫ t = 0 1 p x 1⊗ δ 1 (k ، d t) d: = ∑ k ≥ 1 ∫ t = 1 ∞ p x 1 ⊗ δ 1 (k ، d t)

اگر ∥ z ∥< 1 and e − Re ( θ ) ≤ 1 . The latter inequality holds because Re ( θ ) ≥ 0 . The former inequality ∥ z ∥ < 1 holds because z = x u v and x < 1 .

علاوه بر این ، e - re (ϑ + θ) = e - re (ϑ) e - re (θ) ≤ 1 با re (ϑ) ≥ 0 و re (θ) ≥ 0 در lst به هر حال رضایت داد. این نشان می دهد که γ x u v ، θ +< 1 . □